Matematyka kontra koronawirus

dr Mariusz Bodzioch
Epidemia czy też pandemia jest jak trzęsienie ziemi: spodziewać się jej możemy zawsze, ale nie wiemy, kiedy nastąpi - mówi dr inż. Mariusz Bodzioch z Katedry Multimediów i Grafiki Komputerowej na Wydziale Matematyki i Informatyki UWM.

Jak każdy organizm żyjący na Ziemi wirusy muszą dostosować się do aktualnie panujących w ich środowisku warunków, aby przetrwać i rozprzestrzeniać się. Wirus SARS z 2002 r., wirus Ebola czy MERS z 2012 r. są przykładami wirusów, które ewoluowały i przeszły ze zwierząt na ludzi. Obecnie mamy do czynienia z koronawirusem SARS-CoV-2 wywołującym chorobę COVID-19. Aktualnie na świecie zachorowało już ponad milion osób. Czy można jakoś obliczyć, ile osób zachoruje i umrze z jego powodu?

- Można – informuje dr Mariusz Bodzioch. - Zajmowali się tym nie tylko lekarze, ale także… matematycy, tworząc modele matematyczne.

Zaczęło się od ospy

Pierwszą naukową udaną próbę zmierzenia się z tym problemem podjął w 1760 r. Daniel Bernoulli, szwajcarski matematyk i fizyk. Jego badania dotyczyły wpływu szczepień ochronnych przeciw ospie na rozprzestrzenianie się tej choroby i były prawdopodobnie pierwszą próbą praktycznego wykorzystania matematyki przy prognozowaniu efektów stosowania szczepień.

Następnym uczonym był Anglik Ronald Ross, laureat Nagrody Nobla w medycynie z 1902 r. Wniósł on wielki wkład w etiologię malarii, ale jego największą zasługą było opracowanie modeli matematycznych do badania jej epidemii w 1908 r. Jego prace przyczyniają się w szczególności do zrozumienia sposobów rozprzestrzeniania się chorób przenoszonych przez owady.

Następny krok uczynili dwaj szkoccy uczeni pod koniec lat 20. i na początku 30. XX w. – Anderson Grey McKendrick i William Oglivy Kermack. Zaproponowali oni pierwszy model rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych z wykorzystaniem równań różniczkowych. Pomimo prostoty, ich teoria sprawdza się do dzisiaj.

Różne modele - podobne wnioski

- Liczbę ludzi, którzy mogą zachorować z powodu nowego koronawirusa można określić stosując różne modele matematyczne, również najprostsze, jak np. model stochastyczny Reed’a-Frost’a lub deterministyczny model Kermacka–McKendricka - kontynuuje dr Bodzioch.

Procesem stochastycznym nazywamy funkcję zależną od czasu, której wartościami są zmienne losowe. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą. Natomiast modele deterministyczne opisywane są za pomocą równań różniczkowych lub różnicowych i opisują zmianę zjawiska w czasie.

- Wnioski płynące z tych modeli odzwierciedlają ogólną dynamikę rozprzestrzeniania się choroby. Co ciekawe, oba modele, skonstruowane za pomocą całkowicie innych matematycznych struktur, prowadzą do tych samych wniosków – zapewnia naukowiec.

Polska to nie Chiny

Najprostsze modele zakładają sytuację, w której populacja jest jednorodna, jednolicie wymieszana i żadne działania profilaktyczne nie zostają podjęte. Prowadzi to do jednolitego rozprzestrzenianie się w niej wirusa. Jest to założenie w praktyce nierealne, ale mimo wszystko prowadzi do pewnych istotnych ogólnych wniosków: według tych modeli zachorować na COVID-19 może nawet 80% populacji.

Rys. 1 przedstawia aktualną liczbę zainfekowanych na świecie (bez Chin), w Polsce, Wielkiej Brytanii, Niemczech, Hiszpanii, Włoszech i Francji (stan na 2 kwietnia 2020 r.) oraz trzy proste określające czas podwajania się przypadków: co 2, 3 i 5 dni. Jak możemy zaobserwować, podwajanie się liczby zainfekowanych na świecie następuje co 4–5 dni. Natomiast w pozostałych analizowanych krajach co 3–4 dni. Ze względu na brak danych, liczbowe określanie, ile dokładnie osób zachoruje i kiedy - to nic więcej. jak wróżenie z fusów.  Jednakże, korzystając nawet z najprostszych modeli możemy prognozować ogólny przebieg epidemii, krzywą zachorowań oraz określić, z czym możemy się zmierzyć i próbować określić działania, które nie dopuszczą do zaistnienia czarnego scenariusza. Przebieg epidemii w Chinach i Korei jest zgodny z przewidywaniami nawet najprostszych modeli.

Rys. 2 przedstawia teoretyczny przebieg epidemii na podstawie deterministycznego modelu Kermacka-McKendricka.

Natomiast na rys. 3 przedstawione są krzywe określające całkowitą liczbę zainfekowanych i liczbę aktywnie zainfekowanych w Chinach. Ze względu na ubezwymiarowanie czasu (przeskalowanie), wyciąganie wniosków liczbowych nie jest możliwe. Jednakże wnioski jakościowe już formułować można. Zwróćmy uwagę, że rzeczywisty przebieg epidemii jest zgodny z przewidywaniami modelu.  Zwróćmy jeszcze uwagę, że na podstawie danych z Chin czy Korei Południowej, nie można przewidywać tempa czy wielkości epidemii w Polsce (czy innym kraju), bo podjęte działania w tych krajach były nieporównywanie bardziej restrykcyjne niż gdziekolwiek indziej. Poza tym aktualnie w Europie mamy bardzo dużo ognisk w ogromnej liczbie miejsc.

Symulacje nowe narzędzie lekarzy

Bardziej złożone modele pozwalają na przewidywanie efektów stosowania profilaktyki i innych działań ograniczających rozprzestrzenianie się choroby. W takim przypadku konieczne jest posiadanie odpowiedniej ilości wiarygodnych danych, których w przypadku COVID-19 nie mamy. Podstawową daną jest bazowy współczynnik odnowienia, który określa, ile osób wtórnie może zarazić 1 człowiek pierwotnie zarażony. W obecnej sytuacji możemy przyjąć, że współczynnik ten zmienia się w czasie i jest różny w różnych krajach. Przyjmując jednak różne wartości tego współczynnika, możemy wykorzystując symulacje komputerowe badać różne scenariusze.

Zakładając, że jeśli w danej populacji nikt nie ma odporności, że wszyscy zainfekowani są tacy sami i jednolicie wymieszani, że osobnik, który chorował nabiera odporności i że ludzie nie zmieniają swego zachowania w trakcie epidemii, a bazowy współczynnik odnowienia wynosi 1.5 - zachoruje ok. 70% populacji (dla bazowego współczynnika odnowienia równego 2.5, zachorować może 90% populacji).

Jeśli jednak przy tych założeniach zmienimy tylko jedną zmienną - zachowanie i przyjmiemy, że każdy zmniejsza ryzyko zachorowania o 10%, to zachoruje 50% populacji. Jeśli zaś 30% populacji zmniejsza ryzyko zachorowania 3-krotnie – to zachoruje tylko 40% populacji.

W innej symulacji dr Bodzioch obliczał zachorowalność przy uwzględnieniu ograniczenia kontaktów międzyludzkich, uwzględniając jednocześnie, że prawdopodobieństwo przeniesienia choroby zależy od zagęszczenia zainfekowanych. W takim przypadku epidemia może wystąpić w kilku falach, których występowanie zależy od zachowania ludzi. Jak łatwo przewidzieć, gdy zagęszczenie osób, a tym samym i liczba kontaktów, wzrasta, prawdopodobieństwo pojawienia się nowej fali istotnie się zwiększa. W kolejnej symulacji dr Bodzioch rozważył wpływ profilaktyki na rozwój epidemii. Jeśli społeczeństwo będzie stosować środki ochrony osobistej (maski, rękawice, odkażanie rąk itp.), jeśli będzie unikać środków komunikacji publicznej, stosować się do kwarantanny społecznej, jeśli służba zdrowia będzie szybko diagnozować chorych i szybko ich izolować - to wybuch epidemii w czasie rozciągnie się prawie dwukrotnie, a w szczytowym momencie epidemii chorych będzie nawet o 70% mniej.

Ograniczenia matematycznie udowodnione

Wpływ kwarantanny czy po prostu ograniczeń kontaktów na rozwój epidemii jest oczywisty. Ograniczenia, które narzuca społeczeństwu rząd mają więc swoje naukowe uzasadnienie. Symulacje służą w tym przypadku do lepszej wizualizacji i określania, jak mocne te ograniczenia powinny być. Snując teoretyczne rozważenia można dojść do wniosku, że najlepszym rozwiązaniem jest puszczenie epidemii ,,na żywioł’’ w taki sposób, aby możliwie najszybciej przetoczyła się przez społeczeństwo doprowadzając do jego szybkiego uodpornienia. Taką strategię początkowo wprowadzono nawet w Wielkiej Brytanii. Jednakże taki scenariusz byłby właściwy tylko wówczas, gdyby szpitale były z gumy, a liczba łóżek była nieograniczona. Niestety tak nie jest. Zatem rozciągnięcie epidemii ma na celu rozłożenie tego problemu w czasie.

- Dane, które są aktualnie publikowane, tak naprawdę określają stan epidemii sprzed 7-10 dni. Wynika to z czasu inkubacji, momentu zarażania i z opóźnienia w wykonywaniu testów. Korzystając z modeli matematycznych możemy śmiało stwierdzić, że rzeczywista liczba zarażonych jest co najmniej 10 razy większa niż to wynika z danych. Z drugiej strony świadczy to również o tym, że śmiertelność spowodowana wirusem jest zdecydowanie mniejsza. Natomiast faktyczne efekty aktualnie podjętych działań będą widoczne za kolejne 7–10 dni. Przebieg epidemii w dużej mierze zależy jednak od nas. Jak będzie wyglądać krzywa zachorowania (rys. 4) zależy od tego, jak rygorystycznie będziemy przestrzegać zaleceń Światowej Organizacji Zdrowia i podstawowych zasad higieny, eliminując przede wszystkim lokalne rozprzestrzenianie się epidemii.

W symulacjach postanowiłem zrezygnować z jakiegokolwiek prognozowania liczby ofiar epidemii, gdyż faktyczna śmiertelność w tym przypadku zależy od bardzo wielu czynników. Sianie paniki w czasie epidemii jest całkowicie zbędne. Moim celem jest pokazanie, że matematyka może pomóc przy przewidywaniu przebiegu epidemii oraz w analizowaniu różnych scenariuszy postępowania. Obliczanie możliwej liczby ofiar pozostawiam katastrofistom – kończy dr Bodzioch.

 

Dr Mariusz Bodzioch modelowaniem matematycznym rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych i dynamiką nowotworów zajmuje się od 2015 roku. Jednym z aktualnie realizowanych przez niego tematów badań jest optymalizacja rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych w kontekście zakażeń krzyżowych i oporności na leki.

Lech Kryszałowicz

w kategorii